什么是相似于对角阵

相似于对角阵的矩阵是指可以通过相似变换变为对角矩阵的矩阵。具体来说，如果存在一个非奇异矩阵P，使得矩阵A可以表示为P的逆矩阵乘以对角矩阵D再乘以P，即A = P^-1DP，那么矩阵A就是相似于对角矩阵的。

以下是相似于对角阵的一些关键性质：

1. 特征值 ：相似于对角阵的矩阵具有相同的特征值，因为相似变换不改变矩阵的特征多项式。

2. 特征向量 ：矩阵A有n个线性无关的特征向量，这些特征向量构成矩阵P的列向量。

3. 代数重数与几何重数 ：一个复方阵相似于对角阵的充要条件是它的每个特征值的代数重数都等于其几何重数。

4. 秩 ：相似于对角阵的矩阵的秩等于其非零特征值的个数。

5. 相似变换 ：相似变换保持了矩阵的迹（主对角线元素之和）不变，因此相似矩阵具有相同的迹。

6. 正交相似 ：在某些情况下，如果矩阵的特征向量是正交的，那么矩阵可以通过正交相似变换变为对角矩阵。

需要注意的是，相似于对角阵并不意味着矩阵一定是对角矩阵，对角矩阵是相似于对角阵的一种特殊情况，其对角线上非零元素对应着矩阵的特征值。

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