伴随矩阵的特征值

伴随矩阵的特征值与原矩阵的特征值之间存在特定的关系。以下是这一关系的概述：

1. 行列式关系 ：

对于一个n阶方阵A，其伴随矩阵$A^*$的行列式值是原矩阵行列式值的$n-1$次方，即$|A^*| = |A|^{n-1}$。

2. 特征值关系 ：

如果$\\lambda$是矩阵A的一个特征值，那么$\\frac{|A|}{\\lambda}$是伴随矩阵$A^*$的一个特征值。

当A可逆时，如果$\\lambda \\neq 0$，则$A^*$的特征值为$\\frac{|A|}{\\lambda}$，且对应的特征向量与原矩阵A的特征向量相同。

3. 特殊情况 ：

如果A的所有特征值都是0，那么$A^*$的所有特征值也都是0。

如果A至少有一个非零特征值，那么$A^*$至少有一个非零特征值，且这个非零特征值是原矩阵所有特征值的乘积除以该非零特征值。

4. 特征向量 ：

在某些情况下，如果A的特征向量非零，那么$A^*$对应于$A^*$的特征值的特征向量也是非零的，并且与原矩阵A的特征向量相同。

以上关系可以帮助我们在已知原矩阵的特征值时，快速找到伴随矩阵的特征值。需要注意的是，这些性质在矩阵分析和线性代数中非常重要，并且广泛应用于科学和工程的许多领域

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